bat dang thuc

Bất Đẳng Thức
Trong toán học, một bất đẳng thức là một phát biểu về quan hệ thứ tự giữa hai đối tượng. (Xem thêm: đẳng thức)
• Ký hiệu có nghĩa là a nhỏ hơn b và
• Ký hiệu có nghĩa là a lớn hơn b.
Những quan hệ nói trên được gọi là bất đẳng thức nghiêm ngặt; ngoài ra ta còn có
• có nghĩa là a nhỏ hơn hoặc bằng b và
• có nghĩa là a lớn hơn hoặc bằng b.
Người ta còn dùng một ký hiệu khác để chỉ ra rằng một đại lượng lớn hơn rất nhiều so với một đại lượng khác.
• Ký hiệu a >> b có nghĩa là a lớn hơn b rất nhiều.
Các ký hiệu a, b ở hai vế của một bất đẳng thức có thể là các biểu thức của các biến. Sau đây ta chỉ xét các bất đẳng thức với các biến nhận giá trị trên tập số thực hoặc các tập con của nó.
Nếu một bất đẳng thức đúng với mọi giá trị của tất cả các biến có mặt trong bất đẳng thức, thì bất đẳng thức này được gọi là bất đẳng thức tuyệt đối hay không điều kiện. Nếu một bất đẳng thức chỉ đúng với một số giá trị nào đó của các biến, với các giá trị khác thì nó bị đổi chiều hay không còn đúng nữa thì nó được goị là một bất đẳng thức có điều kiện. Một bất đẳng thức đúng vẫn còn đúng nếu cả hai vế của nó được thêm vào hoặc bớt đi cùng một giá trị, hay nếu cả hai vế của nó được nhân hay chia với cùng một số dương. Một bất đẳng thức sẽ bị đảo chiều nếu cả hai vế của nó được nhân hay chia bởi một số âm.
Hai bài toán thường gặp trên các bất đẳng thức là
1. Chứng minh bất đẳng thức đúng với trị giá trị của các biến thuộc một tập hợp cho trước, đó là bài toán chứng minh bất đẳng thức.
2. Tìm tập các giá trị của các biến để bất đẳng thức đúng. Đó là bài toán giải bất phương trình.

Các phương pháp biến đổi trong chứng minh BĐT
1.Biến đổi tương đương: khi sử dụng phép biến dổi tương đương cần chú ý tới dấu của BĐT khi đảo chiều hay nhân thêm biểu thức...
Ví dụ:Cho hai số a, b thỏa mãn điều kiện , chứng tỏ rằng :
Giải:

, bất đẳng thức này đúng do giả thiết
Đẳng thức xảy ra
2.Đưa về hàm số: khi đưa về hàm số ta thường sử dụng tính chất đơn điệu và liên tục
Ví dụ:Cho các số x, y thỏa mãn : và .
Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Giải:
Từ giả thiết . Ta có :

Đặt với ; có
P là hàm nghịch biến trong đoạn
( đạt khi hoặc ).
( đạt khi ).
3.Sử dụng phương pháp đánh giá: đây là PP tương đối khó trong việc Cm BĐT,tùy từng dạng bài mà có cách đánh giá khác nhau.Cần chú ý điều kiện đề bài để có hướng đi phù hợp nhất cho bài toán
Ví dụ 1:
Cho là ba số thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0 ; 2]. Chứng minh rằng:
Giải:
Do giả thiết



(đpcm)
Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi